Question

如图，在矩形ABCD中，M、N分别AD、BC的中点，P、Q分别BM、DN的中点．

（1）求证：四边形MPNQ是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝4，求四边形MPNQ的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

连结MN，∵M、N分别AD、BC的中点，

∴MD＝AD，BN＝BC．

∴MD＝BN，MD∥BN，∴四边形BNDM是平行四边形．

∴MB＝ND．…………………………1分

∵P、Q分别BM、DN的中点，∴MP＝MB，NQ＝DN．

∴MP＝NQ．

又∵MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．…………………………2分

∵ABCD为矩形，M、N分别AD、BC的中点，

∴四边形ABNM为矩形，∴MN⊥BC．

∴在Rt△MNB中，PN＝BM．∴PN＝PM．………………3分

∴四边形MPNQ是菱形．…………………………4分

（2）∵AB＝2，BC＝4，∴MN＝BN＝2

∵P为MB的中点，∴PN⊥MB，PN

在Rt△MNB中，MB＝…………………5分

∴，∴四边形MPNQ是边长为的正方形．

∴四边形MPNQ的面积为……………………………7分