Question

14．在△ABC中，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的度数；
（2）若∠B=15°，AC=a，AB=b，求DE长（用含a、b的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由DE垂直平分斜边AB，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到AE=BE，求得∠EAD=∠B，由外角的性质得到∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，列方程即可得到结论；
（2）由（1）知∠AEC=2∠B，根据外角的性质得到∠AEC=30°，根据直角三角形的性质得到AE=2a，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE垂直平分斜边AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠B+30°+2∠B=90°，
解得：∠B=20°；

（2）由（1）知∠AEC=2∠B，
∵∠B=15°，
∴∠AEC=30°，
∵AC=a，
∴AE=2a，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{a}^{2}-{b}^{2}}$．

点评 本题主要考查线段垂直平分线的性质，利用直角三角形的两锐角互余得到关于∠B的方程求得∠B是解题的关键．