Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AP、CQ分别平分∠BAC、∠BCA，AP交CQ于I，连PQ，则S_△IAC：S_{四边形ACPQ}=1：2．

Answer 1

分析 在AC上截取CE=CP，AF=AQ，连接IE、IF，作FN⊥IE于N，QM⊥AI于M，只要证明△CIP≌△CIE，△IAF≌△IAQ，以及S_△IMQ=S_△INF即可解决问题．

解答 解：在AC上截取CE=CP，AF=AQ，连接IE、IF，作FN⊥IE于N，QM⊥AI于M．
在△CIP和△CIE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CI=CI}\\{∠ICP=∠ICE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△CIP≌△CIE，同理△IAF≌△IAQ，
∴S_△CIP=S_△CIE，S_△AIF=S_△AIQ，PI=PE，IQ=IF，∠CIP=∠CIE，∠AIQ=∠F，
∵∠B=90°，IC平分∠ACB，IA平分∠BAC，
∴∠AIC=90°+$\frac{1}{2}$∠B=135°，
∴∠CIP=∠CIE=∠AIQ=∠EIF=45°，
在△IMQ和△INF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠INF=∠IMQ=90°}\\{∠NIF=∠QIM}\\{IF=IQ}\end{array}\right.$，
∴△INF≌△IMQ，
∴FN=QM，
∵S_△IMQ=$\frac{1}{2}$•PI•QM，S_△INF=$\frac{1}{2}$•IE•NF，
∴S_△INF=S_△IMQ，
∴S_△AIC=S_△CIE+S_△EIF+S_△IAF=$\frac{1}{2}$S_{四边形ACPQ}．
故S_△IAC：S_{四边形ACPQ}=1：2．
故答案为1：2．

点评 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等知识，添加辅助线是解决问题的关键，题目有难度，记住利用角平分线构造全等三角形的方法．