Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；

（3）如图2，已知直线分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（﹣3，0）；（2）P（，）；（3）QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．

【解析】

试题分析：（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；

（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；

（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值．

试题解析：（1）把B（1，0）代入，可得a+2﹣3=0，解得a=1，∴抛物线解析式为，令y=0，可得，解得x=1或x=﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0）；

（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，

由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中，∵∠POB=∠POB′，OP=OP，∠BOP=∠B′OP，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得：，解得：，∴直线AP解析式为，联立，解得：，∴P点坐标为（，）；

若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为（，）；

（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，∵CF为，∴可求得C（，0），F（0，），∴tan∠OFC==，∵DQ∥y轴，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，∴若DQ=DE，则S△DEQ=DEHQ=×t×t=，若DQ=QE，则S△DEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t×t=，∵＜，∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．

设Q点坐标为（x，），则D（x，），∵Q点在直线CF的下方，∴DQ=t==，当x=时，tmax=3，∴（S△DEQ）max==，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．