Question

【题目】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断△ABC的形状： ；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）PA+PB=PC；证明见解析（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大值为

【解析】

（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角形．（2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出△PAD为等边三角形，再根据已知条件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论．（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分别为点E，点F，四边形APBC的面积为△APB与△ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为的中点时，面积最大．

（1）等边三角形；

由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，

∴△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形；

（2）PA+PB=PC．

证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．

∵∠APC=60°．

∴△PAD是等边三角形．

∴PA=AD， ∠PAD=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴∠PAB=∠DAC．

∵AB=AC．

∴△PAB≌△DAC．

∴PB=DC．

∵PD+DC=PC，

∴PA+PB=PC．

（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．

理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF．

∴S四边形APBC=AB（PE+CF）．

当点P为的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．

∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．

又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB=．

∴S四边形APBC=×2×=．