【题目】问题背景: 如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,从而得出结论:AC+BC= CD.
简单应用:
(1)在图①中,若AC= ,BC=2 ,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的长. 拓展规律:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)
(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE= AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
【答案】
(1)3
(2)解:连接AC、BD、AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵ ,
∴AD=BD,
将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,如图③,
∴∠EAD=∠DBC,
∵∠DBC+∠DAC=180°,
∴∠EAD+∠DAC=180°,
∴E、A、C三点共线,
∵AB=13,BC=12,
∴由勾股定理可求得:AC=5,
∵BC=AE,
∴CE=AE+AC=17,
∵∠EDA=∠CDB,
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,
即∠EDC=∠ADB=90°,
∵CD=ED,
∴△EDC是等腰直角三角形,
∴CE= CD,
∴CD= ;
(3)解:以AB为直径作⊙O,连接OD并延长交⊙O于点D1,
连接D1A,D1B,D1C,如图④
由(2)的证明过程可知:AC+BC= D1C,
∴D1C= ,
又∵D1D是⊙O的直径,
∴∠DCD1=90°,
∵AC=m,BC=n,
∴由勾股定理可求得:AB2=m2+n2,
∴D1D2=AB2=m2+n2,
∵D1C2+CD2=D1D2,
∴CD=m2+n2﹣ = ,
∵m<n,
∴CD= ;
(4) PQ= AC或 PQ= AC?
【解析】解:(1)由题意知:AC+BC= CD, ∴ +2 = CD,
∴CD=3;
·(4)当点E在直线AC的左侧时,如图⑤,
连接CQ,PC,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
点P是AB的中点,
∴AP=CP,∠APC=90°,
又∵CA=CE,点Q是AE的中点,
∴∠CQA=90°,
设AC=a,
∵AE= AC,
∴AE= a,
∴AQ= AE= ,
由勾股定理可求得:CQ= a,
由(2)的证明过程可知:AQ+CQ= PQ,
∴ PQ= a+ a,
∴ PQ= AC;
当点E在直线AC的右侧时,如图⑥,
连接CQ、CP,
同理可知:∠AQC=∠APC=90°,
设AC=a,
∴AQ= AE= ,
由勾股定理可求得:CQ= a,
由(3)的结论可知:PQ= (CQ﹣AQ),
∴ PQ= AC.
综上所述,线段PQ与AC的数量关系是 PQ= AC或 PQ= AC.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.
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【题目】如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足 ,ABCD的边AD与y轴交于点E,且E为AD中点,双曲线 经过C、D两点.
(1)求k的值;
(2)点P在双曲线 上,点Q在y轴上,若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点P、Q的坐标;
(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3),点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT,交AB于N,当T在AF上运动时, 的值是否发生改变?若改变,求出其变化范围;若不改变,请求出其值,并给出你的证明.
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【题目】如图,小明有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列问题:
(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,乘积的最大值是 ;
(2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,则商的最小值是 ;
(3)从中取出4张卡片.用学过的计算方法.使计算结果为24,请写出这个运算式.(至少写出两个)
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【题目】如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(7,3),点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H,在点P从点F(0, )运动到原点O的过程中,点H的运动路径长为 .
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【题目】文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,文昌到三亚的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间 | 公布票价 | 学生票 | ||
上车站 | 下车站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
文昌 | 三亚 | 81(元) | 68(元) | 51(元) |
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
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【题目】在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是( )
A.y=﹣(x﹣ )2﹣
B.y=﹣(x+ )2﹣
C.y=﹣(x﹣ )2﹣
D.y=﹣(x+ )2+
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【题目】一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
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