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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.

【答案】
(1)证明:连接OA,

∵DA平分∠BDE,

∴∠BDA=∠EDA.

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠OAD,

∴∠OAD=∠EDA,

∴OA∥CE.

∵AE⊥CE,

∴AE⊥OA.

∴AE是⊙O的切线


(2)解:∵BD是直径,

∴∠BCD=∠BAD=90°.

∵∠DBC=30°,∠BDC=60°,

∴∠BDE=120°.

∵DA平分∠BDE,

∴∠BDA=∠EDA=60°.

∴∠ABD=∠EAD=30°.

∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,

∴AD=2DE.

∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,

∴BD=2AD=4DE.

∵DE的长是1cm,

∴BD的长是4cm.


【解析】(1)连接OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切线;(2)根据圆周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案.

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①b2﹣4c>0;
②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;
④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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(1)如图①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB的中点,作∠POQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连结PQ、CO,求证:AP2+BQ2=PQ2
(2)如图②,将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形,点O仍为AB的中点,∠POQ=90°,试探索上述结论AP2+BQ2=PQ2是否仍成立;
(3)通过上述探究(可直接运用上述结论),试解决下面的问题:如图③,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O为AB的中点,过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q,连结PQ,求△PCQ面积的最大值.

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小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,从而得出结论:AC+BC= CD.
简单应用:

(1)在图①中,若AC= ,BC=2 ,则CD=
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的长. 拓展规律:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)
(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE= AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是

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