Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα= ．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ． （把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
在Rt△ABH中，cosB= ，
∴BH=10× =8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6，则CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE为直角三角形，当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，BD为8；当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，BD= = ，所以③错误；
设BD=x，则CD=16﹣x，
由△ABD∽△DCE得 = ，即 = ，
∴CE=﹣ （x﹣8）2+6.4，
∴CE的最大值为6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正确．
所以答案是①②④．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．