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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于点G,DF经过点C.

(1)求∠ADE的度数;
(2)如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1 , ∠E2DF2 , DE1交直线AC于点P,DF1交直线BC于点Q,DE2交直线AC于点M,DF2交直线BC于点N,求 的值;
(3)若图1中∠B=β(60°<β<90°),(2)中的其余条件不变,判断 的值是否为定值?如果是,请直接写出这个值(用含β的式子表示);如果不是,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵∠ACB=90°,D为AB的中点,

∴CD=DB,

∴∠DCB=∠B,

∵∠B=60°,

∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°,

∴∠CDA=120°,

∵∠EDC=90°,

∴∠ADE=30°


(2)

解:∵∠C=90°,∠MDN=90°,

∴∠DMC+∠CND=180°,

∵∠DMC+∠PMD=180°,

∴∠CND=∠PMD,

同理∠CPD=∠DQN,

∴△PMD∽△QND,

过点D分别做DG⊥AC于G,DH⊥BC于H,

可知DG,DH分别为△PMD和△QND的高

=

∵DG⊥AC于G,DH⊥BC于H,

∴DG∥BC,

又∵D为AC中点,

∴G为AC中点,

∵∠C=90°,

∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG,

Rt△AGD中,


(3)

解:是定值,定值为tan(90°﹣β),

,四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG,

∴Rt△AGD中, =tan∠A=tan(90°﹣∠B)=tan(90°﹣β),

=tan(90°﹣β)


【解析】(1)根据含30°的直角三角形的性质和等边三角形的性质解答即可;(2)根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形中的三角函数解答即可;(3)由(2)的推理得出 ,再利用直角三角形的三角函数解答.

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【题目】函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;
②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;
④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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【题目】探究与应用.试完成下列问题:
(1)如图①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB的中点,作∠POQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连结PQ、CO,求证:AP2+BQ2=PQ2
(2)如图②,将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形,点O仍为AB的中点,∠POQ=90°,试探索上述结论AP2+BQ2=PQ2是否仍成立;
(3)通过上述探究(可直接运用上述结论),试解决下面的问题:如图③,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O为AB的中点,过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q,连结PQ,求△PCQ面积的最大值.

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【题目】甲、乙两车从A、B两地于上午9点钟同时出发,相向而行,已知甲的速度比乙快2千米/时,到上午11时两车还相距36千米,又过了2小时后,两车又相距36千米.

(1)求甲乙两地间的距离与两车的速度;

(2)若甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行,到B、A两地后立即返回,求两车第一次相遇和第二次相遇所走的时间是多少?

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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα= .下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8;④0<CE≤6.4.其中正确的结论是 . (把你认为正确结论的序号都填上)

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【题目】已知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.

(1)试直接写出点D的坐标;
(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.
①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似,试求出点P的坐标;
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO﹣TB|的值最大?

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【题目】一不透明的袋子中装有4个球,它们除了上面分别标有的号码1、2、3、4不同外,其余均相同.将小球搅匀,并从袋中任意取出一球后放回;再将小球搅匀,并从袋中再任意取出一球.若把两次号码之和作为一个两位数的十位上的数字,两次号码之差的绝对值作为这个两位数的个位上的数字,请用“画树状图”或“列表”的方法求所组成的两位数是奇数的概率.

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【题目】2017年深圳市男生体育中考考试项目为二项,在200米和1000米两个项目中选一个项目;另外在运球上篮、实心球、跳绳、引体向上四个项目中选一个.
(1)每位男考生一共有种不同的选择方案;
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