Question

【题目】已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．

（1）如图1，求证：GD＝GF；

（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝12，HM+CN＝MN，求DK的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）．

【解析】

（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；

（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；

（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．

解：（1）证明：∵DE⊥AB

∴∠BED＝90°

∴∠A+∠ADE＝90°

∵∠ADC＝90°

∴∠GDF+∠ADE＝90°

∴∠A＝∠GDF

∵

∴∠A＝∠GFD

∴∠GDF＝∠GFD

∴GD＝GF

（2）连接OD、OF

∵OD＝OF，GD＝GF

∴OG⊥DF，PD＝PF

在△DPH和△FPB中

∴△DPH≌△FPB（SAS）

∴∠FBP＝∠DHP＝90°

∴∠GBH＝90°

∴∠DGF＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°

∴∠GDF＝∠DFG＝45°

∴∠ADF＝45°

（3）在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，AB＝12

∴AH＝BH＝12

∴PH＝PB＝6

∵∠HDP＝∠HPD＝45°

∴DH＝PH＝6

∴AD＝12+6＝18，PN＝HM＝PH＝3，PD＝6

∵∠BFE＝∠EBF＝45°

∴EF＝BE

∵∠DAE＝∠ADE＝45°

∴DE＝AE

∴DF＝AB＝12

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠DAB+∠BCD＝180°

∴∠BCD＝135°

∴∠BCG＝45°＝∠CBG

∴GC＝GB

又∵∠CGP＝∠BGP＝45°，GP＝GP

∴△GCP≌△GBP（SAS）

∴∠PCG＝∠PBG＝90°

∴∠PCD＝∠CDH＝∠DHP＝90°

∴四边形CDHP是矩形

∴CD＝HP＝6，PC＝DH＝6，∠CPH＝90°

令CN＝m，则PN＝6﹣m，MN＝m+3

在Rt△PMN中，∵PM2+PN2＝MN2

∴32+（6﹣m）2＝（m+3）2，解得m＝2

∴PN＝4

过点N作NS⊥DP于S，

在Rt△PSN中，PS＝SN＝2

DS＝6﹣2＝4

连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R

在Rt△DFQ中，FQ＝DQ＝12

∴AQ＝18﹣12＝6

∴tan

∵四边形AFKD内接于⊙O，

∴∠DAF+∠DKF＝180°

∴∠DAF＝180°﹣∠DKF＝∠FKR

在Rt△DFR中，∵DF＝

∴

在Rt△FKR中，∵FR＝ tan∠FKR＝2

∴KR＝

∴DK＝DR﹣KR＝ ．