Question

【题目】（如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

⑴如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=_________cm；②求证：EP=AE+DP；

⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①6 ②见解析（2）△PDM的周长保持不变，理由见解析

【解析】

（1）①由折叠知BE=EM,AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM,根据边长及中点易求周长；②取EP中点G，连接MG，再根据梯形中位线与三角形中位线解答即可；（2）不变化，可证△AEM∽△DMP，两个三角形的周长比为AE：MD，设AM=x，根据勾股定理可以用x表示MD的长与△MAE的周长，再根据周长比等于相似比，即可求解.

（1）①由折叠可知，BE=BM,∠B=∠MEP=90°，

△AEM的周长= AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.

∵AB=4，M是AD中点，

∴△AEM的周长=6（cm）

②证明：取EP中点G，连接MG，在梯形AEPD中

∵M、G分别为AD、EP的中点

∴

由折叠，得∠EMP=∠B=90°

又G为EP的中点

∴MG=EP

∴EP="AE+DP"

(2)△PDM的周长保持不变

证明：设AM=xcm，则DM=（4－x）cm

Rt△EAM中，由

∵∠AME+∠AEM=90°

∠AME+∠PMD=90°

∴∠AEM=∠PMD

又∵∠A=∠D=90°

∴△PDM∽△MAE

∴

即

∴

∴△PDM的周长保持不变．