Question

【题目】已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．

（1）求抛物线F的解析式；

（2）如图1，直线l：yx+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．

①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．

【解析】

(1) 根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2) 将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中， 可求出x1、x2的值， 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值， 做差后即可得出y2-y1的值；

(3) 根据m的值可得出点A、B的坐标， 利用对称性求出点A′的坐标 ．

①分别求出AB、AA′、A′B的值， 由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；

②根据等边三角形的性质结合菱形的性质， 可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为(x，y)，分A′B为对角线或AB为对角线或AA′为对角线三种情况分别讨论即可得.

(1)∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点(0，0)和(，0)，

∴，解得：，

∴抛物线F的解析式为y＝x2x；

(2)将yx+m代入y＝x2x，得：x2＝m，

解得：x1，x2，

∴y1m，y2m，

∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；

(3)∵m，∴点A的坐标为()，点B的坐标为(，2)，

∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为()；

①△AA′B为等边三角形，理由如下：

∵A()，B(，2)，A′()，

∴AA′= ，

AB= ，

A′B= ，

∴AA′＝AB＝A′B，

∴△AA′B为等边三角形；

②∵△AA′B为等边三角形，

∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，

设点P的坐标为(x，y)．

(i)当A′B为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为(2)；

(ii)当AB为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为()；

(iii)当AA′为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为(，﹣2)．

综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2)、()和(，﹣2)．