Question

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，-1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求一次函数y=x+n的表达式；
（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当-1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，-1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；
（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；
（3）首先求得抛物线上当x=-1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．

解答 解：（1）二次函数的对称轴是x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
则-$\frac{b}{2}$=1，
解得：b=-2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，-1）．
∴c=-1，
则二次函数的解析式是y=x²-2x-1；
（2）二次函数y=x²-2x-1的顶点坐标是（1，-2），
代入y=x+n得-2=1+n，
解得：n=-3，
则一次函数y=x+n的表达式是y=x-3；
（3）如图所示：

在y=x²-2x-1中，当x=-1时，y=2；
当x=1时，y=-2．
当直线y=mx-3经过点（-1，2）时，-m-3=2，解得：m=-5；
当直线y=mx-3经过点（1，-2）时，m-3=-2，解得：m=1．
则当-5＜m＜1时，当-1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确作出函数的图象，根据图象确定m的范围是关键．