Question

13．设圆O₁，圆O₂交于点A，B，过A作直线CD交圆O₁，圆O₂于C，D，M为CD的中点，P为O₁O₂的中点．求证：PM=PA．

Answer 1

分析 首先作O₁E⊥CD，PQ⊥CD，O₂F⊥CD，利用垂径定理和平行线的判定定理可得AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，O₁E∥PQ∥O₂F，由P为O₁O₂的中点，易得EQ=FQ，可得AE-AQ=MF-MQ，由M为CD的中点，可得CM=DM=$\frac{1}{2}$CD，易得MF=AE，从而得AQ=MQ，证得结论．

解答 证明：作O₁E⊥CD，PQ⊥CD，O₂F⊥CD，如图所示，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，O₁E∥PQ∥O₂F，
∵O₁P=O₂P，O₁E∥PQ∥O₂F，
∴EQ=FQ，即AE-AQ=MF-MQ，
∵CM=DM=$\frac{1}{2}$CD，
∴MF=AF+AM=$\frac{1}{2}$AD+（AC-CM）=$\frac{1}{2}$AD-$\frac{1}{2}$CD+AC=$\frac{1}{2}$（AD-CD）+AC=-$\frac{1}{2}$AC+AC=$\frac{1}{2}$AC=AE．
∴AQ=MQ，
∴PA=PM．

点评 本题主要考查了垂径定理，相交两圆的性质，作出辅助线，利用垂径定理，数形结合是解答此题的关键．