Question

3．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求证：∠C=60°；
（2）连接AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB=$\sqrt{2}$AE，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：过点O作OF⊥BD，垂足为F，连接OD、OB．由等腰三角形的三线合一的性质可知：BF=FD，∠BOF=∠DOF，然后由特殊锐角三角函数值可知∠FOD=60°，从而得到∠BOD=120°，根据圆周角定理可知：∠C=60°；
（2）如图2所示：过点A作AN⊥BM，垂足为N，过点C作CM⊥BD，垂足为M，首先证明△BAE∽△CAB，从而得到∠ABE=∠ACB，然后由圆周角定理证明∠ABD=∠ADB=30°，从而得到AB=AD，然后等腰三角形三线合一的性质可知：BN=$2\sqrt{3}$，在Rt△ABN中，tan30°=$\frac{AN}{BN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故此AN=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，然后再证明△AEN≌△CEM，得到MC=AN=2，最后根据三角形的面积公式即可求得四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）如图1所示：过点O作OF⊥BD，垂足为F，连接OD、OB．

∵OB=0D，OF⊥BD，
∴BF=FD，∠BOF=∠DOF．
在Rt△DFO中，BO=4，BF=$\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠FOD=$\frac{DF}{DO}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠FOD=60°．
∴∠BOD=120°．
∴∠C=60°．
（2）如图2所示：过点A作AN⊥BM，垂足为N，过点C作CM⊥BD，垂足为M．

∵若E为AC的中点，AB=$\sqrt{2}AE$，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC$．
∴AB²=AE•AC，即：$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$．
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB．
∴∠ABE=∠ACB．
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ACD=$\frac{1}{2}∠BCD=30°$．
∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴AB=AD．
又∵AN⊥BD，
∴BN=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
在Rt△ABN中，tan30°=$\frac{AN}{BN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AN=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2．
在△AEN和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANE=∠CME}\\{∠AEN=∠CEM}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CEM．
∴MC=AN=2．
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}DB•AN+\frac{1}{2}BD•MC$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2+\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的综合应用，由若E为AC的中点，AB=$\sqrt{2}AE$，得到AB²=AE•AC，从而证得△BAE∽△CAB是解题的关键．