Question

8．观察下列等式：
①$\sqrt{{5^2}-{4^2}}$=1×3；②$\sqrt{{{17}^2}-{8^2}}$=3×5；③$\sqrt{{{37}^2}-{{12}^2}}$=5×7；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式：$\sqrt{{{65}^2}-{{16}^2}}$=7×9；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

Answer 1

分析 根据规律化简即可．

解答 解：（1）∵①$\sqrt{{5^2}-{4^2}}$=$\sqrt{（5-4）×（5+4）}$=1×3；
②$\sqrt{{{17}^2}-{8^2}}$=$\sqrt{（17-8）×（17+8）}$=3×5；
③$\sqrt{{{37}^2}-{{12}^2}}$=$\sqrt{（37-12）×（37+12）}$=5×7；
…
∴$\sqrt{{65}^{2}-1{6}^{2}}$=$\sqrt{（65-16）×（65+16）}$=7×9；
故答案为：7，9；

（2）由（1）知，第n个等式$\sqrt{{{（{4{n^2}+1}）}^2}-16{n^2}}$=（2n-1）（2n+1），
证明如下：$\sqrt{{{（{4{n^2}+1}）}^2}-16{n^2}}=\sqrt{（{4{n^2}-4n+1}）（{4{n^2}+4n+1}）}=\sqrt{{{（{2n-1}）}^2}{{（{2n+1}）}^2}}=（{2n-1}）（{2n+1}）$．

点评 本题主要考查了二次根式的性质及化简，根据已知找出规律是解答此题的关键．