Question

20．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b²-4ac＜0；
②当x＞-1时y随x增大而减小；
③a+b+c＜0；
④若方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2； 
⑤3a+c＜0．
其中，正确结论的序号是②③④⑤．

Answer 1

分析 ①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b²-4ac＞0，据此解答即可．
②根据抛物线的对称轴x=-1，可得当x＞-1时，y随x增大而减小，据此判断即可．
③根据抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，据此判断即可．
④根据y=ax²+bx+c的最大值是2，可得方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，据此判断即可．
⑤首先根据抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，可得b=2a，然后根据a+b+c＜0，判断出3a+c＜0即可．

解答 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∴结论①不正确．

∵抛物线的对称轴x=-1，
∴当x＞-1时，y随x增大而减小，
∴结论②正确．

∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴结论③正确．

∵y=ax²+bx+c的最大值是2，
∴方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，
∴结论④正确．

∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴结论⑤正确．
综上，可得
正确结论的序号是：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．