Question

11．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx-n（n＞0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，延长AB到C，使BC=AB，过点C作CD⊥x轴于点D（4n，0）．
（1）n与m之间的数量关系是m+n=0；
（2）把△OAB沿直线OB折叠，使点A落在点E处，连接OE并延长，与直线CD交于点G，与抛物线交于点F，直线CD与抛物线交于点H．若点F落在直线CD的右侧，分别解决下列各个问题：
①求证：在运动过程中，以OG为直径的圆必与直线AC相切；
②求实数n的取值范围；
③当线段GH的长度为整数时，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得点B的坐标，把点B的坐标代入函数解析式可以得到m、n之间的数量关系；
（2）①取OG的中点R，连接BR，则易得BR为直角梯形OACG的中位线．欲证明OG为直径的圆必与直线AC相切，只需推知RB是⊙R的半径即可；
②过点E作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN．构建相似三角形：△OME∽△ENB，根据该相似三角形的对应边成比例和折叠的性质得到：$\frac{OE}{EB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，则E（$\frac{4}{5}$n，$\frac{3}{5}$n）；利用待定系数法求得直线OE的表达式根据两直线相交可以求得G（4n，4n²-n）．结合图象得到关于n的不等式3n＞4n²-n，依此可以得到n的取值范围；
③易求GH=3n-（4n²-n）=-4n²+4n．利用二次函数最值的求法得到n的值，然后再来求二次函数解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx-n（n＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，-n）．
又∵D（4n，0），BC=AB，
∴B（2n，-n）．
把点B的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx-n，得
-n=$\frac{1}{2}$×4n²+2mn-n，
整理，得
m+n=0．
故答案是：m+n=0；

（2）①证明：取OG的中点R，连接BR，则易得BR为直角梯形OACG的中位线，
∴RB⊥AC，RB=$\frac{1}{2}$（OA+CG）=$\frac{5}{2}$n．
∵OG=5n，
∴RB是⊙R的半径，即AC为⊙R的切线；
②解：易得A（0，-n），B（2n，-n）．
过点E作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN．
易证得△OME∽△ENB，
∴$\frac{{y}_{E}}{2n-{x}_{E}}$=$\frac{{x}_{E}}{{y}_{E}+n}$=$\frac{OE}{EB}$．
由折叠可知：$\frac{OE}{EB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{E}=\frac{4}{5}n}\\{{y}_{E}=\frac{3}{5}n}\end{array}\right.$，即E（$\frac{4}{5}$n，$\frac{3}{5}$n）．
∴直线OE的表达式为：y=$\frac{3}{4}$x．
∴直线OE与直线CD交点G的坐标为（4n，8n²+4mn-n），即（4n，4n²-n）．
∵直线OE与抛物线的交点F在直线CD的右侧，
∴点G在点H的上方，即3n＞4n²-n，
解得：n＜1，
∴实数n的取值范围是：0＜n＜1；
③易得G（4n，3n），则GH=3n-（4n²-n）=-4n²+4n．
当n=$\frac{1}{2}$时，GH取得最大值为1．
∴GH取整数值为1，此时抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-1．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了待定系数法求函数解析式、函数图象交点的求法、相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．