Question

6．直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=2．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C′
（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C′与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，联结BE．
①0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及x取值范围；
②当${S_{△{B}D{E}}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}$时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知$\frac{CD}{CA′}$=$\frac{CE}{CB′}$、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（0＜x＜4）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．分别列出S_△BDE的面积表达式，根据${S_{△{B}D{E}}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}$列方程解答即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°
∴∠ABC=60°．
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴B′BC为等边三角形．
∠α=∠B′CB60°．
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．
∵DE∥A′B′，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$．
由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴△CAD∽△CBE．
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$．
∵∠A=30°
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（0＜x＜4）
②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
设AD=x，则BD=AB-AD=4-x，
∵DE∥A′B′，
∴$\frac{CD}{CA′}=\frac{CE}{CB′}$，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD×BE=$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
当S=$\frac{1}{3}$S_△ABC时，-$\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}x$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
整理，得x²-4x+4=0．
解得x₁=x₂=2，
即AD=2．
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．
设AD=x，则BD=x-4，∠DBE=90°，
此时，S_△BDE=$\frac{1}{2}$×BD×BE=$\frac{1}{2}$（x-4）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
当S=$\frac{1}{3}$S_△ABC时，$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
整理，得x²-4x-4=0．
解得x₁=2+2$\sqrt{2}$，x₂=2-2$\sqrt{2}$（负值，舍去）．
即AD=2+2$\sqrt{2}$
综上所述：AD=2或AD=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论，求出S_△BDE的面积表达式是解决问题的关键．