Question

1．问题情境：
在平面直角坐标系中，已知A（-4，-1）、B（1.11），如果要求A、B两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则A、B两点之间的距离为13．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$．
探究1：求代数式$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值．
解：$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}+\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$
如图2，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，
则$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$可以看成点P（x，0）与点A（0，1）的距离
$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$可以看成点P（x，0）与点B（3，2）的距离，
所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和，PA+PB的最小值就是原代数式的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B之间的所有连线中线段最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=$3\sqrt{2}$
，即$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值为$3\sqrt{2}$．
探究2：求代数式$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．
解：$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}}+9$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（2，1）、点B（4，3）的距离之和，$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值为2$\sqrt{5}$．
探究3：代数式$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的最小值为2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如图1，利用勾股定理计算A、B两点之间的距离；
对于探究2，由于$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-3）^{2}}$，则$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（2，1）、点B（4，3）的距离之和，利用探究1的方法，求出点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，-1），再利用两点间的距离公式计算出BA′=2$\sqrt{5}$，则得到$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值为2$\sqrt{5}$；
对于探究3，先变形得到$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，然后根据探究1的方法求解．

解答 解：如图1，A、B两点之间的距离=$\sqrt{（1+4）^{2}+（11+1）^{2}}$=13；
探究2：求代数式$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．
解：$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-3）^{2}}$，
所以$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（2，1）、点B（4，3）的距离之和，
点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，-1），则BA′=$\sqrt{（4-2）^{2}+（3+1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
所以$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值为2$\sqrt{5}$；
探究3：$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-1）^{2}}$，
所以$\sqrt{{x}^{2}+25}+\sqrt{{x}^{2}-4x+5}$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，5）、点B（2，1）的距离之和，
而点A（0，5）关于x轴的对称点为A′（0，-5），则BA′=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1+5）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
故答案为13；2，1，4，3；2$\sqrt{5}$；2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．也考查了坐标与图形性质．