Question

16．如图，在面积为1的△ABC中，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且$\frac{BD}{DC}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{AF}{FB}$=k＞1，连接AD，BE，CF，得△PMN，则△PMN的面积为$\frac{{k}^{2}-2k+1}{{k}^{2}+k+1}$．

Answer 1

分析 设S_△FBN=a，则S_△FNA=ka，设S_△ANE=b，则S_△CNE=kb，由$\frac{AF}{AB}$=$\frac{k}{k+1}$，△ABC的面积为1，求得S_△AFC=$\frac{k}{k+1}$，同理S_△AEB=$\frac{1}{k+1}$，列出方程组解出a，b的值，同理S_△CDP=S_△AEM=a，S_△ADC=S_△BCF=$\frac{1}{k+1}$，由S_△PMN=1-$\frac{3}{k+1}$+3a即可得出△PMN的面积．

解答 解：如图，设S_△FBN=a，则S_△FNA=ka，
设S_△ANE=b，则S_△CNE=kb，

∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{k}{k+1}$，△ABC的面积为1，
∴S_△AFC=$\frac{k}{k+1}$，同理S_△AEB=$\frac{1}{k+1}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ka+b+kb=\frac{k}{k+1}}\\{a+ka+b=\frac{1}{k+1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{（k+1）（{k}^{2}+k+1）}}\\{b=\frac{{k}^{2}}{（k+1）（{k}^{2}+k+1）}}\end{array}\right.$，
同理S_△CDP=S_△AEM=a，S_△ADC=S_△BCF=$\frac{1}{k+1}$，
∴S_△PMN=1-$\frac{3}{k+1}$+3a=1-$\frac{3}{k+1}$+$\frac{3}{（k+1）（{k}^{2}+k+1）}$=$\frac{{k}^{2}-2k+1}{{k}^{2}+k+1}$．
故答案为：$\frac{{k}^{2}-2k+1}{{k}^{2}+k+1}$．

点评 本题主要考查了面积及等积变换，解题的关键是求出S_△FBN=S_△CDP=S_△AEM及S_△AEB=S_△ADC=S_△BCF．