Question

8．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是BC上的中线，CE⊥AD于F，交AB于E，连结DE，问∠CDA与∠BDE相等吗？为什么？

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，交AD于G，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，由CE⊥AD，根据等角的余角相等得到∠1=∠2，则可根据“ASA”判断△AGC≌△CEB，得到CG=BE，然后根据“SAS”证明△CGD≌△BED，则可得到∠CDA=∠EDB．

解答 解：作CH⊥AB于H，交AD于G，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CEB（ASA），
∴CG=BE，
∵AD为腰CB上的中线，
∴CD=BD，
在△CGD和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BE}\\{∠GCD=∠B}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△BED（SAS），
∴∠CDA=∠EDB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．此题同时也考查了等腰直角三角形的性质．