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    9．若抛物线y=x2+bx+c的顶点纵坐标为-2，则一元二次方程x2+bx+c+2=0的根的情况为有两个相等的实数根．

    分析 根据抛物线y=x2+bx+c的顶点纵坐标为-2，可得出$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=-2，再根据根的判别式b2-4ac判断一元二次方程x2+bx+c+2=0的根的情况即可．

    解答 解：∵抛物线y=x2+bx+c的顶点纵坐标为-2，
    ∴$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=-2，
    ∴$\frac{4c{-b}^{2}}{4}$=-2，
    ∴4c-b2=-8，
    ∴一元二次方程x2+bx+c+2=0的根的判别式：△=b2-4（c+2）=b2-4c-8=8-8=0，
    ∴一元二次方程x2+bx+c+2=0有两个相等的实数根．
    故答案为：有两个相等的实数根．

    点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由函数顶点纵坐标得出$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$，利用根的判别式是解答此题的关键．

    练习册系列答案
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    20．利用尺规作图（保留作图痕迹即可）：如图，在射线BC上，作线段BD，使BD=2AB；以点D为顶点，射线DC为一边，作∠EDC（两种情况），使∠EDC=∠ABC．

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    4．有理数a，b，c在数轴上对应的点如：用“＞”或“＜”号填空
    （1）a+b+c＜0；
    （2）|a|＜|b|；
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    （1）记△POD的面积为S1，△BOD的面积为S2，直接写出S1：S2=3（求比值）
    （2）请用含a的代数式分别表示P，A，B三点的坐标；
    （3）在点P运动过程中，连接AB，设△PAB的面积为S，则S是否变化？若不变化，请求出S的值；若改变，请写出S关于a的函数关系式．

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    1．问题情境：
    在平面直角坐标系中，已知A（-4，-1）、B（1.11），如果要求A、B两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则A、B两点之间的距离为13．
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    探究1：求代数式$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值．
    解：$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}+\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$
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    则$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$可以看成点P（x，0）与点A（0，1）的距离
    $\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$可以看成点P（x，0）与点B（3，2）的距离，
    所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和，PA+PB的最小值就是原代数式的最小值．
    设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B之间的所有连线中线段最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=$3\sqrt{2}$
    ，即$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的最小值为$3\sqrt{2}$．
    探究2：求代数式$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．
    解：$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}}+9$的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（2，1）、点B（4，3）的距离之和，$\sqrt{（x-2）^{2}+1}+\sqrt{（x-4）^{2}+9}$ 的最小值为2$\sqrt{5}$．
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