Question

14．已知点P（a，b）是反比例函数y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象于点A，B，交坐标轴于C，D．
（1）记△POD的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，直接写出S₁：S₂=3（求比值）
（2）请用含a的代数式分别表示P，A，B三点的坐标；
（3）在点P运动过程中，连接AB，设△PAB的面积为S，则S是否变化？若不变化，请求出S的值；若改变，请写出S关于a的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用点P的坐标可求出S：，S₂的值，即可得出S₁：S₂；
（2）由P（a，b）是反比例函数y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）图象上的动点，可得P（a，-$\frac{6}{a}$），再由点A、B在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）即可得出点A、B的坐标；
（3）由S=$\frac{1}{2}$|AP|•|BP|=$\frac{4}{3}$，即可得出S不变化．

解答 解：（1）∵P（a，b）是反比例函数y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）图象上的动点，
∵P（a，-$\frac{6}{a}$），
∴S₁=$\frac{1}{2}$•（-a）•（-$\frac{6}{a}$）=3，
∵B（a，-$\frac{2}{a}$），
∴S₂=$\frac{1}{2}$•（-a）•（-$\frac{2}{a}$）=1，
∴S₁：S₂=3：1=3．
故答案为：3．
（2）∵P（a，b）是反比例函数y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）图象上的动点，
∵P（a，-$\frac{6}{a}$），
∵点B在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上且横坐标为a，
∴B（a，-$\frac{2}{a}$），
∵点A在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上且纵坐标为-$\frac{6}{a}$，
∴A（$\frac{a}{3}$，-$\frac{6}{a}$），
（3）不变化．
∵P（a，-$\frac{6}{a}$），B（a，-$\frac{2}{a}$），A（$\frac{a}{3}$，-$\frac{6}{a}$），PA∥x轴，PB∥y轴，
∴S=$\frac{1}{2}$|AP|•|BP|=$\frac{1}{2}$×（$\frac{a}{3}$-a）[（-$\frac{6}{a}$）-（-$\frac{2}{a}$）]=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．