Question

11．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O开始沿y轴的正方向运动，点B、C是一次 函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）的图象的两个交点，且点B（m，2）．当点P的坐标为（0，2）时，PC=BC，且∠PCB=90°．
（1）试求反比例y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）和一次函数y=kx+b的解析式；
（2）设a=|PB-PC|，当点P运动到何处时，m的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）作CA⊥PB于A，如图，由B（m，2），P（0，2）可判断BC∥x轴，根据等腰直角三角形的性质得CA=PA=BA=$\frac{1}{2}$m，所以C（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m+2），利用反比例函数图象上点的坐标特征得2m=$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+2），解得m=0（舍去）或m=4，则把B（4，2）代入y=$\frac{a}{x}$得a的值，于是反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$；然后把B（4，2），C（2，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解方程组可得一次函数解析式为y=-x+6；
（2）设P点坐标为（0，t），而B（4，2），C（2，4），根据三角形三边的关系得n=|PB-PC|≤BC（当点P为一次函数与y轴的交点时，取等号），则n的最大值为BC，此时P点坐标为（0，6），接着计算出BC=2$\sqrt{2}$，即当点P运动到（0，6）时，n的最大值是2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）作CA⊥PB于A，如图，
∵B（m，2），P（0，2），
∴BC∥x轴，
∵CP=CB，∠PCB=90°，CA⊥PB，
∴CA=PA=BA=$\frac{1}{2}$m，
∴C（$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵点B、C是反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）的点，
∴2m=$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+2），解得m=0（舍去）或m=4，
∴B（4，2），C（2，4），
把B（4，2）代入y=$\frac{a}{x}$得a=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$；
把B（4，2），C（2，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x+6；
（2）设P点坐标为（0，t），而B（4，2），C（2，4），
∵n=|PB-PC|≤BC（当点P为一次函数与y轴的交点时取等号），
∴n的最大值为BC，此时P点坐标为（0，6），
而BC=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴当点P运动到（0，6）时，n的值最大，最大值是2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了等腰直角三角形的性质．