Question

【题目】如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN.

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想.并加以证明.

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3位置时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）MN=BM+DN，证明略；（2）MN=DN-BM，证明略.

【解析】

（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似，见详解．

解：（1）BM+DN=MN成立．
证明：证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，

在△ABE和△ADN中，

，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）结论：DN-BM=MN．
在线段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ与△ABM中，

，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，

，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．