Question

【题目】如图所示，在⊙O中， = ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=ABAF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ = ，

∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，

∴△ACF∽△ABC，

∴ = ，即AC2=ABAF；

（2）解：解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

如图所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，

又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°，

在Rt△AOE中，OA=2cm，

∴OE=OAcos60°=1cm，

∴AE= = cm，

∴AC=2AE=2 cm，

则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC= ﹣ ×2 ×1=（ ﹣ ）cm2．

【解析】（1）由 = ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【考点精析】掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．