Question

8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，AB⊥BC，BC=2AD，E为CD的中点，BE、AC交于点F，连接DF．下列结论：①△BCD为等腰直角三角形；②△ABC∽△EDB；③DF⊥BE；④AF=$\sqrt{2}$CF．其中正确的结论个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①作DH⊥BC于H，由AB=AD得到四边形ABHD为正方形，则∠DBH=45°，由BC=2AD得HC=DH，则△DHC为等腰直角三角形，所以∠DCB=45°，于是可判断△BCD为等腰直角三角形；
②设AB=a，则BC=2a，HC=a，DC=$\sqrt{2}$a，BD=$\sqrt{2}$a，由DE=CE得DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，于是可计算出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$=$\sqrt{2}$，加上∠ABC=∠EDB=90°，根据相似三角形的判定方法即可得到△ABC∽△EDB；
③由△ABC∽△EDB得到∠1=∠3，而∠1=∠2，所以∠2=∠3，于是可判断点A、B、F、D四点共圆，则∠BAD+∠BFD=180°，即可得到∠BFD=90°．
④由于AD∥BC，故可延长BF与AD交于点G，比例关系自然清晰．

解答 证明：①作DH⊥BC于H，如图，
∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD，
∵AB=AD，
∴ABHD是正方形，
∴∠DBH=45°，
∵BC=2AD，
∴HC=BH，
∴△DHC为等腰直角三角形，故①正确；
②∵DB=DC，DE=CE，
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$
而∠ABC=∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB；故②正确；
③∵△ABC∽△EDB，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴点A、B、F、D四点共圆，
∴∠BAD+∠BFD=180°，
∴∠BFD=90°，
∴DF⊥BE，故③正确．
④延长BE、AD交于点G，
∵AG∥BC，
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{DE}{CE}=1$，
∵BC=2AD，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AG}{BC}=\frac{3}{2}$，
故④错误．
故选C．

点评 本题考查了梯形的性质、正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定及性质、四点共圆等多个知识点，有一定综合性．难度中等，正确作出辅助线是关键．