Question

3．已知：二次函数y=x²-（a+3）x+a+2（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点（非原点），求a的值；
（2）若该函数图象与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，x₁＜x₂，与y轴相交于点C（0，c），c＞0，且满足x₁²+x₂²-x₁x₂=7．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得抛物线与x轴只有一个公共点，利用抛物线与x轴的交点问题得到△=（a+3）²-4（a+2）=0，然后解方程即可得到a的值；
（2）①根据根与系数的关系得x₁+x₂=a+3，x₁•x₂=a+2，把x₁²+x₂²-x₁x₂=7变形得到（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=7，则（a+3）²-3（a+2）=7，解得a₁=-4，a₂=1，然后利用c＞0得到a=1，于是抛物线解析式为y=x²-4x+3；
②先求出A（1，0），B（3，0），C（0，3），则抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，-1），如图，再利用勾股定理计算出AC=$\sqrt{10}$，然后讨论：当AP=AC时，易得P₁（2，3）；当CP=CA时，以C点为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧交直线x=2于P₂和P₃，利用勾股定理计算出P₁P₂=P₁P₃=$\sqrt{6}$，于是可得到P₂（2，3+$\sqrt{6}$），P₃（2，3-$\sqrt{6}$）．

解答 解：（1）∵抛物线与y一定有一个交点，
而抛物线与坐标轴只有两个交点，
∴抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=（a+3）²-4（a+2）=0，
整理得a²+2a+1=0，解得a₁=a₂=-1，
即a的值为-1；
（2）①根据根与系数的关系得x₁+x₂=a+3，x₁•x₂=a+2，
而x₁²+x₂²-x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=7，
∴（a+3）²-3（a+2）=7，
整理得a²+3a-4=0，解得a₁=-4，a₂=1，
而c＞0，即a+2＞0，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；
②存在．
当y=0时，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，则A（1，0），B（3，0），
当x=0时，y=x²-4x+3=3，则C（0，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，-1），如图，
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
当AP=AC时，P₁（2，3）；
当CP=CA时，CP₂=$\sqrt{10}$，而CP₁=2，则P₂P₁=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，则P₂（2，3+$\sqrt{6}$），同样方法得到P₁P₃=$\sqrt{6}$，所以P₃（2，3-$\sqrt{6}$），
∴满足条件的P点坐标为（2，3）或（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的性质；理解抛物线与x轴的交点问题；会运用根与系数的关系求未知系数的值；会运用勾股定理计算线段的长．