【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连接AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设.
(1)求证:AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)= ;(3)n=16或 .
【解析】
试题分析:(1)因为GF⊥AF,由对称易得AE=EF,则由直角三角形的两个锐角的和为90度,且等边对等角,即可证明E是AG的中点;(2)可设AE=a,则AD=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可证明△ABE~△DAC , 则,因为AB=DC,且DA,AE已知表示出来了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形时的n,需要分类讨论,一般分三个,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
试题解析:(1)证明:由对称得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF,∴AE=EG.
(2)解:设AE=a,则AD=na,当点F落在AC上时(如图1),由对称得BE⊥AF,∴∠ABE+∠BAC=90°,∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠ABE=∠DAC,又∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DAC ,∴
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,∵AB>0,∴AB=,∴= =,∴=.
(3)解:设AE=a,则AD=na,由AD=4AB,则AB=.
当点F落在线段BC上时(如图2),EF=AE=AB=a,此时,∴n=4,∴当点F落在矩形外部时,n>4.
∵点F落在矩形的内部,点G在AD上,∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,若∠CFG=90°,则点F落在AC上,由(2)得=,∴n=16.
若∠CGF=90°(如图3),则∠CGD+∠AGF=90°,∵∠FAG+∠AGF=90°,∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DGC,∴ ,∴AB·DC=DG·AE,即.
解得 n=或n=<4(不合题意,舍去),∴当n=16或 时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
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【题目】小明为了了解气温对用电量的影响,对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计.当地去年每月的平均气温如图1,小明家去年月用电量如图2.
根据统计表,回答问题:
(1)当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少?相应月份的用电量各是多少?
(2)请简单描述月用电量与气温之间的关系;
(3)假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数,据此他能否预测今年该社区的年用电量?请简要说明理由.
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【题目】如图,已知:是的直径,点在上,是的切线,于点是延长线上的一点,交于点,连接.
(1)求证:平分.
(2)若,.
①求的度数.
②若的半径为,求线段的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【题目】某校羽毛球训练队共有8名队员,他们的年龄(单位:岁)分別为:12,13,13,14,12,13,15,13,则他们年龄的众数为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
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