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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连接AF,BF,EF,过点F作GFAF交AD于点G,设

(1)求证:AE=GE;

(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;

(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)= ;(3)n=16

【解析】

试题分析:(1)因为GFAF,由对称易得AE=EF,则由直角三角形的两个锐角的和为90度,且等边对等角,即可证明EAG的中点;(2)可设AE=a,则AD=na,即需要用na表示出AB,由BEAFBAE==D=90°,可证明ABE~DAC ,因为AB=DC,且DAAE已知表示出来了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以点FCG为顶点的三角形是直角三角形时的n,需要分类讨论,一般分三个,FCG=90°CFG=90°CGF=90°;根据点F在矩形ABCD的内部就可排除FCG=90°,所以就以CFG=90°CGF=90°进行分析解答.

试题解析:(1)证明:由对称得AE=FE∴∠EAF=EFAGFAE∴∠EAF+FGA=EFA+EFG=90°FGA=EFGEG=EF,∴AE=EG.

2)解:设AE=a,则AD=na,当点F落在AC上时(如图1),由对称得BEAFABE+BAC=90°∵∠DAC+BAC=90°ABE=DAC,又∵∠BAE=D=90°ABE~DAC ,∴

AB=DCAB2=AD·AE=na·a=na2AB>0AB=,∴= ==.

3)解:设AE=a,则AD=na,由AD=4AB,则AB=.

当点F落在线段BC上时(如图2),EF=AE=AB=a,此时n=4,∴当点F落在矩形外部时,n>4.

F落在矩形的内部,点GAD上,FCG<BCD∴∠FCG<90°,若CFG=90°,则点F落在AC上,由(2)得=n=16.

CGF=90°(如图3),则CGD+AGF=90°∵∠FAG+AGF=90°CGD=FAG=ABE∵∠BAE=D=90°ABE~DGC AB·DC=DG·AE,即.

解得 n=或n=<4(不合题意,舍去),n=16 时,以点FCG为顶点的三角形是直角三角形.

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