Question

2．已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²=0的两个实数根的平方和是11，则k=-1+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设方程x²+（2k+1）x+k²=0的两个实数根分别为m、n，根据根与系数的关系可得出m+n=-2k-1、mn=k²，结合m²+n²=11即可得出关于k的一元二次方程，解方程可得出k的值，再根据方程有解结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式可得出k的取值范围，由此即可确定k的值．

解答 解：设方程x²+（2k+1）x+k²=0的两个实数根分别为m、n，
则有：m+n=-2k-1，mn=k²，
∵m²+n²=（m+n）²-2mn=11，
∴（-2k-1）²-2k²=11，即k²+2k-5=0，
解得：k=-1-$\sqrt{6}$或k=-1+$\sqrt{6}$．
∵方程有实数根，
∴△=（2k+1）²-4k²=4k+1≥0，
∴k≥-$\frac{1}{4}$，
∴k=-1+$\sqrt{6}$．
故答案为：-1+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．