Question

2．一个含30°角的三角尺与一张圆形硬纸片如图放置在桌面上，圆心O在斜边AB上，三角尺的两直角边与圆相切，切点分别为M、N．若AC=3+$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-π
• B． $\sqrt{3}$-$\frac{1}{6}$π
• C． $\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π

Answer 1

分析 本题需先求出直角三角形的边长BC，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形ONCM是正方形，然后根据AM=$\sqrt{3}$OM，求得半径，求出直角三角形BON、扇形EON的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$（3+$\sqrt{3}$）=3+3$\sqrt{3}$，
连接OM、ON，
∵AC，BC与⊙O相切，
∴OM⊥AC，ON⊥BC
∵∠C=90°，OM=ON，
∴四边形ONCM是正方形，
∴OM=ON=NC=CM，
设OM=R，则ON=NC=CM=R，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
∵CM=AC-AM，
∴R=3+$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
解得R=3，
∴CN=3，
∴BN=BC-CN=3+3$\sqrt{3}$-3=3$\sqrt{3}$，
∴S_△BON=$\frac{1}{2}$BN•ON=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∵ON⊥BC，∠B=30°，
∴∠BON=60°，
∴S_扇形=$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$，
∴S_阴影=S_△BON-S_扇形=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π．
故选D．

点评 本题主要考查了切线的性质、扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用．