Question

已知：如图八，在△ABC中，已知AB＝AC＝

6，BC＝4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC

都有交点，设⊙B的半径为x．

（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD

与⊙B相切，求x的值；

（

2）如图九，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P

存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；

（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B 的交点E在线

段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．

Answer 1

解：（1）作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴BH＝2．

∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，………………（2分）

∵∠DBC＝∠ACH, ∴cos∠DBC＝cos∠ACH 

∴BD︰BC＝CH︰CA，

∴BD︰4＝2︰6，∴BD＝．………………（2分） 

（2）如图，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．

∵AH⊥BC，AB＝AC＝6，BC＝4，∴BH＝2，

∴AH＝4．………………（1分）

∵以AC为直径作⊙P，∴AP＝PC，

∴PK＝2，CK＝BC＝1，∴BK＝3，

∴在Rt△PBK中，PB＝＝＝，…………（2分）

∴当0＜x＜－3时，⊙B与⊙P外离，当x＝－3时，⊙B与⊙P外切，

当－3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交．………………（3分）

（3）点E即为BC边的中点H，∴PE＝3．

设EF与PB交于点G，BG＝m，

∴在△PBE中，PE²－PG²＝BE²－BG²，

∴3²－（－m）²＝2²－m²，∴m＝．……（2分）

∵EG²－BG²＝BE²，∴EG²－（）²＝2²，

∴EG＝，∴EF＝．