如图.已知在等腰Rt△ABC中.∠C=90°.斜边AB=2.若将△ABC翻折.折痕EF分别交边AC.边BC于点E和点F(点E不与A点重合.点F不与B点重合).且点C落在AB边上.记作点D．过点D作DK⊥AB.交射线AC于点K.设AD=x.y=cot∠CFE.(1)求证:△DEK∽△DFB,(2)求y关于x的函数解析式并写出定义域,(3)联结CD.当CDEF=32时.求x的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当

时，求x的值．

考点：相似形综合题,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,轴对称的性质,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）易得DK=DA=x，DB=2-x，由△DFB∽△DEK可得到

，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE=

2-x

；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD=

EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=

CD．由

可得tan∠HOC=

，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值．

解答：（1）证明：如图1，

由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；

（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2-x．
∵△DFB∽△DEK，
∴

，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE=

2-x

．
当点F在点B处时，
DB=BC=AB•sinA=2×

，AD=AB-AD=2-

；
当点E在点A处时，
AD=AC=AB•cosA=2×

；
∴该函数的解析式为y=

2-x

，定义域为2-

＜x＜

；

（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD=

EF．
设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=

CD．
∵

，∴tan∠HOC=

，
∴∠HOC=60°
①若点K在线段AC上，如图2，

∵CO=

EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC=

∠HOC=30°，
∴y=cot30°=

，
∴

2-x

，
解得：x=

-1；
②若点K在线段AC的延长线上，如图3，

∵OC=OF，∠FOC=60°，
∴△OFC是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°=

，
∴

2-x

，
解得：x=3-

；
综上所述：x的值为

-1或3-

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，在解决本题的过程中还用到了临界值法、分类讨论的思想，而运用（1）中的结论则是解决第（2）小题的关键，取EF的中点O，将

转化为

则是解决第（3）小题的关键．

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