Question

如图，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于A，B两点，连接OA，OB，AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，有以下结论：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k．
其中正确的是

 

（填序号即可）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：①②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=-x+b与y=

k

x

，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k；

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=

k

x

中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立

y=-x+b y= k b

，消去y得：x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
在△AOM和△BON中，

AM=BN ∠AMO=∠BNO OM=ON

∴△AOM≌△BON，
∴OA=OB，即①②正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=

1

2

k+

1

2

k=k，正确；
正确的结论有①②③．
故答案为：①②③

点评：此题考查了反比例函数的综合运用，解题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．