Question

【题目】如图，已知y=﹣x+m（m＞4）过动点A（m，0），并与反比例函数y= 的图象交于B、C两点（点B在点C的左边），以OA为直径作反比例函数y= 的图象相交的半圆，圆心为P，过点B作x轴的垂线，垂足为E，并于半圆P交于点D．
（1）当m=5时，求B、C两点的坐标．
（2）求证：无论m取何值，线段DE的长始终为定值．
（3）记点C关于直线DE的对称点为C′，当四边形CDC′E为菱形时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把m=5代入y=﹣x+m中得：y=﹣x+5，

则 解得： ， ，

∴B（1，4），C（4，1）；

（2）解：如图1，连接OD、AD，

∵A（m，0），

∴OA=m，

y=﹣x+m中，当x=0时，y=m，则F（0，m），

∴OF=m，

∴△AOF是等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°，

∵BE⊥OA，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴BE=AE，

∵OA是⊙P的直径，

∴∠ODA=90°，

∵∠ODE=∠OAD，

∵∠OED=∠DEA=90°，

∴△ODE∽△DAE，

∴ ，

∴DE2=OEAE=OEBE，

∵B是反比例函数上的点，即OEBE=4

∴无论m取何值，线段DE的长始终为定值；

（3）解：如图3，连接CC′，设DE与CC′交于G，

由（2）得：DE2=4，

∴DE=2，

∵四边形CDC′E为菱形，

∴DG=EG=1，

∴C的纵坐标为1，

当y=1时， =1，x=4，

∴C（4，1），

把C（4，1）代入y=﹣x+m中得：﹣4+m=1，

m=5．

【解析】（1）把M=5代入一次函数解析式中，与反比例函数列方程组解出即可；（2）作辅助线，如图1，证明△ODE∽△DAE，列比例式得： ，则DE2=OEAE=OEBE=4，所以线段DE的长始终为定值；（3）根据菱形的性质求出C的坐标，代入一次函数的解析式中可得m的值．