Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，交BC于点F．若AC=BC=14，AE：EC=4：3，则tan∠EFC的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先根据已知条件求出AE、BE的值，再根据各角之间的关系求出BD=CD和∠CDE=∠BDF，再根据ASA证出△BDF≌△CDE，得出BF=CE=6，再根据BC=14，求出CF=8，然后根据tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$，代值计算即可得出答案．

解答 解：∵AC=14，AE：EC=4：3，
∴AE=8，CE=6，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠CDF+∠BDF=90°，
∵∠B=45°，
∴BD=CD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠B=∠ACD，
∵FD⊥ED，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△BDF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BDF}\\{BD=CD}\\{∠B=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，
∴BF=CE=6，
∵BC=14，
∴CF=8，
∴tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$；
故选D．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质，关键是找出全等的三角形．