Question

14．如图，已知正方形ABCD的边长为12，E为边DC上一点，且DE=5．延长AE交BC延长线于点F，点M在线段AE上，且EM=DE，P为边AD上一动点，当点P从点A向点D移动时，PM交边BC于点Q．求PQ：MQ．

Answer 1

分析 由正方形ABCD的边长为12，得到AD=12，∠D=90°，根据勾股定理求得AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，通过△ADE∽△FCE，得到比例式$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{CE}$=$\frac{5}{7}$，于是得到EF=$\frac{91}{5}$，求出AM=8，MF=$\frac{116}{5}$，又根据相似三角形的性质得到$\frac{PM}{QM}=\frac{AM}{MF}$=$\frac{8}{\frac{116}{5}}$=$\frac{10}{29}$，于是得到结论．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AD=12，∠D=90°，
∵DE=5，
∴CE=7，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，
∵AD∥BC，
∴AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{CE}$=$\frac{5}{7}$，
∴EF=$\frac{91}{5}$，
∵EM=DE=5，
∴AM=8，MF=$\frac{116}{5}$，
∵AP∥QF，
∴△APM∽△FMQ，
∴$\frac{PM}{QM}=\frac{AM}{MF}$=$\frac{8}{\frac{116}{5}}$=$\frac{10}{29}$，
∴PQ：MQ=39：29．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．