Question

5．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．
（1）若∠AEF=20°，∠ADE=50°，AC=2，求AB的长度；
（2）求证：AE=AF+BC；
（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根据余角的定义得到∠2=∠DEF-∠1=70°，根据三角形的内角和得到∠3=60°，∠4=30°根据三角函数的定义得到cos∠4=$\frac{AC}{AB}$，于是得到结论；
（2）如图1，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定义得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5证得△DEM≌△EFA，根据全等三角形的性质得到AF=EM，根据三角形的内角和和余角的定义得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根据全等三角形的性质得到BC=AM即可得到结论；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到∠2=∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得到ME=AF，即可得到结论．

解答 解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF-∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠A=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴cos∠4=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{AC}{cos∠4}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）如图1，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEM与△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠EAF}\\{∠5=∠1}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF=EM，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAM与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠B}\\{∠DMA=∠C}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC=AM，
∴AE=EM+AM=AF+BC；

（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，
∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM与△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠C}\\{∠2=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠EAF}\\{∠5=∠4}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，
即AE+AF=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．