Question

【题目】直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．

（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；

（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）45°或30°，图见解析.

【解析】

（1）根据翻折的性质，得到∠AFE=∠DFE=65°，即可求出∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，根据直角三角形两个锐角互余的性质即可求出∠CDF的度数.

（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．

（1）根据翻折不变性可知：∠AFE=∠DFE=65°，

∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，

∵∠C=90°，

∴∠CDF=90°﹣50°=40°．

（2）∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF=CD，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD， AE=DE，

∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，

分类如下：

①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，

由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，

解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；

见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．

②当BD=BE时，则∠B=（180°﹣4x）°，

由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x，

解得x=37.5°，此时∠B=（180﹣4x）°=30°．

图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．

③DE=BE时，则

由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，

此方程无解．

∴DE=BE不成立．

综上所述：∠B=45°或30°．