【题目】如图,在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q,R分别是AB,AC,BC上的动点,PQ+PR+QR的最小值是_____.
【答案】
【解析】
如图,作点P关于AC的对称点P′,点P关于BC的对称点P″,连接P′Q,P″R,CP′,CP″,PC.首先证明P′、C′、P″共线,由CP=CP′=CP″,推出△PP′P″是直角三角形,推出PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″,推出PQ+PR+QR的最小值,就是线段P′P″的长,当PC⊥AB时,P′P″的长最小,由此即可求解.
如图,作点P关于AC的对称点P′,点P关于BC的对称点P″,连接P′Q,P″R,CP′,CP″,PC.
根据对称的性质可知:QP′=QP,RP″=RP,CP=CP′=CP″,∠ACP=∠ACP′,∠PCR=∠BCP″,
∵∠ACB=90°,
∴∠PCP′+∠PCP″=180°,
∴P′,C′,P″共线,
∵CP=CP′=CP″,
∴△PP′P″是直角三角形,
∴PQ+RQ+PR=P′R+QR+RP″≤P′P″,
∴PQ+PR+QR的最小值,就是线段P′P″的长,
当PC⊥AB时,P′P″的长最小,
在Rt△ACB中,∵∠A=30°,BC=2,
∴AC=2,AB=4,
当PC⊥AB时,PC==
,
∴PQ+PR+QR的最小值是.
故答案为:.
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【题目】用22米长的篱笆和6米长的围墙围成一个矩形鸡舍.
(1)爸爸的方案是:一面是墙,另外三面是篱笆,求爸爸围成的鸡舍面积最大是多少?
(2)小明的方案是:把有墙的一面用篱笆加长作为一边,另外三面也是篱笆,要使围成的鸡舍面积最大,求有墙的一面应该再加长几米长的篱笆?
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【题目】如图所示,已知正方形ABCD,直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合,纸板绕点A旋转时,直角三角形纸板的一边与直线CD交于E,分别过B、D作直线AE的垂线,垂足分别为F、G.
(1)当点E在DC延长线时,如图①,求证:BF=DG﹣FG;
(2)将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③,此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系?请直接写出结论(不必证明)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y= x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究 是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=x+3分别交x,y轴于点D,C,点B在x轴上,OB=OC,过点B作直线m∥CD.点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点,且点P在x轴的上方,满足∠POQ=45°
(1)则∠PBO=度;
(2)问:PBCQ的值是否为定值?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由;
(3)求证:CQ2+PB2=PQ2 .
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【题目】在如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC∥DF,BC∥EF.证明过程如下:
∵∠1=∠2(已知),
∴AC∥DF(A.同位角相等,两直线平行),
∴∠3=∠5(B.内错角相等,两直线平行).
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠5=∠4(C.等量代换),
∴BC∥EF(D.内错角相等,两直线平行).
上述过程中判定依据错误的是( )
A. A B. B C. C D. D
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【题目】如图,矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,过O作EF⊥AC,交AD于E,交BC于F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AECF是菱形
(2)若AB=3,BC=4,则菱形AECF的周长?
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