Question

15．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足$|{a+4b-6}|+\sqrt{3a+b+4}=0$，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数．
（3）若AC交y轴于点F，在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得到$\left\{\begin{array}{l}{a+4b-6=0}\\{3a+b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，则A（-2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）先利用待定系数法求直线AC的解析式，确定F的坐标，求出△AOF的面积，分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t．

解答 解：（1）∵$|a+4b-6|+\sqrt{3a+b+4}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4b-6=0}\\{3a+b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）
∴三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
（2）如图2，过E作EF∥AC，

∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
∵BD∥AC，EF∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），C（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}x+1$，
当x=0时，y=1，
∴F（0，1），
∴OF=1，
∴${S}_{△AOF}=\frac{1}{2}×2×1=1$．
∵三角形ACP的面积是三角形AOF的面积的4倍，
∴S_△APC=4，
①当P在y轴正半轴上时，如图3，

设P（0，t），
过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（t-2+t）}{2}$-t-（t-2）=4，
解得t=3．
②当P在y轴负半轴上时，如图4，

∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（t-2+t）}{2}$+t-（2-t）=4，
解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．