Question

10．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（1，4），B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，求代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与二次函数y=a（x-1）²的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入反比例函数求出k，再将点B的坐标代入计算即可；
（2）把mn的值代入，再根据二次函数图象上点的坐标特征表示出n，然后代入整理即可得解；
（3）先求出反比例函数与直线的交点坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征列不等式计算即可得解．

解答 解：（1）将A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=1×4=4，
所以，反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
将点B的坐标代入得$\frac{4}{m}$=n，
所以mn=4；

（2）∵二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，
∴n=（m-1）²=m²-2m+1，
又∵mn=4，
∴m³n-2m²n+3mn-4n=4m²-8m+12-4（m²-2m+1）=4m²-8m+12-4m²+8m-4=8；

（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
所以，反比例函数图象与直线y=x的交点坐标为（2，2）（-2，-2），
∵反比例函数与抛物线的交点在直线下方，
∴抛物线开口向上时，a（2-1）²＜2，
解得a＜2，
∴0＜a＜2，
抛物线开口向下时，a（-2-1）²＜-2，
解得a＜-$\frac{2}{9}$，
综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或a＜-$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了二次函数与不等式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，难点在于（3）先求出反比例函数图象与直线的交点坐标．