Question

19．如图，在Rt△AOB中∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，m）为OA的中点，一反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OD，若OD平分∠AOB，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥OB于点E，根据∠ABO=90°得到CE∥AB，因为点C（1，m）为OA的中点，所以点E为OB的中点，所以OB=2OE=2，得到点D的横坐标为2，设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把点C（1，m）代入得：k=m，得到y=$\frac{m}{x}$，x=2时，y=$\frac{m}{2}$，所以点D的坐标为（2，$\frac{m}{2}$）．
（2）过点D作DF⊥AO于点F，先求出点D的坐标为（2，$\frac{m}{2}$），根据角平分线的性质得到DF=DB=$\frac{m}{2}$，根据点C（1，m）求出OC，得到OA=2OC=$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，根据S_△ABO=S_△OBD+S_△AOD，即可解答．

解答 解：（1）如图1，
，
过点C作CE⊥OB于点E，
∵∠ABO=90°
∴CE∥AB，
∵点C（1，m）为OA的中点，
∴点E为OB的中点，
∴OB=2OE=2，
∴点D的横坐标为2，
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把点C（1，m）代入得：k=m，
∴y=$\frac{m}{x}$，
当x=2时，y=$\frac{m}{2}$，
∴点D的坐标为（2，$\frac{m}{2}$）．
（2）如图2，

过点D作DF⊥AO于点F，
∵OD平分∠AOB，
∴DF=BD，
∵点D的坐标为（2，$\frac{m}{2}$），
∴DF=DB=$\frac{m}{2}$，
∵点C（1，m）
∴OC=$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，
∴OA=2OC=2$\sqrt{{1}^{2}+{m}^{2}}$，
∵S_△ABO=S_△OBD+S_△AOD，
即$\frac{1}{2}OB•AB=\frac{1}{2}OB•BD+\frac{1}{2}AO•DF$
$\frac{1}{2}×2•2m=\frac{1}{2}×2•\frac{m}{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{m}{2}$
解得：m=2$\sqrt{2}$，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$．

点评 本题考查反比例函数，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．