Question

6．如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=2OC，直线y=x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数y=$\frac{a}{x}$过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是$\frac{80}{9}$，则a+b=1．

Answer 1

分析 由直线y=x+b表示出C坐标，得出OC的长，进而表示出OA的长，确定出A与B坐标，进而表示出MA与CN的长，得出BM与BN的长，根据三角形OMN面积=矩形ABCO面积-三角形BMN面积-三角形OAM面积-三角形OCN面积，表示出三角形OMN面积，由已知面积列出a与b的方程，再由B的坐标确定出直线OB解析式，与已知直线联立表示出E坐标，代入反比例解析式列出a与b的方程，联立求出a与b的值，即可确定出a+b的值．

解答 解：对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b；令y=0，得到x=-b，
∴C（0，b），即OC=b，
∴OA=2OC=2b，即A（-2b，0），
把x=-2b代入y=$\frac{a}{x}$中，得：y=-$\frac{a}{2b}$，即MA=-$\frac{a}{2b}$，
把y=b代入y=$\frac{a}{x}$中，得：x=$\frac{a}{b}$，即CN=-$\frac{a}{b}$，
∴BN=2b+$\frac{a}{b}$，BM=b+$\frac{a}{2b}$，
∴S_△OMN=S_矩形ABCO-S_△BMN-S_△AOM-S_△CON=2b²-$\frac{1}{2}$（2b+$\frac{a}{b}$）（b+$\frac{a}{2b}$）+$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$a=$\frac{80}{9}$①，
∵B（-2b，b），
∴直线OB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
与直线y=x+b联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}b}\\{y=\frac{1}{3}b}\end{array}\right.$，即E（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{1}{3}$b），
把E代入反比例解析式得：-$\frac{2}{9}$b²=a，即b²=-$\frac{9}{2}$a②，
联立①②解得：a=-2，b=3，
则a+b=-2+3=1．
故答案为：1

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，反比例函数k的几何意义，矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．