Question

18．超市开设了自助收银区，实施自助收银，以节省顾客的排队时间．某日上午10点，超市值班经理发现在自助收银区已经有80人在等待收银，此时仍有顾客不断前来排队等候．在自助收银区，假设顾客按固定的速度增加，每个收银口自助收银的速度也是固定的，其中每分钟新增排队人数为3人，每分钟每个收银口自助收银2人．
（1）若10点后收银的前a分钟只开放4个收银口，10点后排队等候的人数y（人）与收银时间x（分钟）的关系如图所示．
①求a值；
②求超市在10点20分时，自助收银区排队等候收银的顾客人数；
（2）超市有承诺：顾客排队不超过10分钟，即要在10点10分内让所有排队的顾客都能完成自助收银，以便后来的顾客能随到随收．请帮助值班经理计算一下开放几个收银口？

Answer 1

分析 （1）根据原有的人数-a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=60建立方程求出其解就可以；
（2）设当4≤x≤24时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式就可以求出结论；
（3）设需同时开放n个检票口，根据原来的人数+10分进站人数≤n个检票口10分钟检票人数建立不等式，求出其解即可．

解答 解：（1）由图象知，80+3a-4×2a=60，
∴a=4；                                          
（2）设当4≤x≤24时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{24k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=72}\end{array}\right.$，
∴y=-3x+72，
当x=20时，y=-3×20+72=12，
即超市在10点20分时，自助收银区排队等候收银的顾客人数为12人．
（3）设需同时开放n个检票口，则由题意知
2a×10≥80+10×3，
解得：n≥$\frac{11}{2}$，
∵n为整数，
∴n的最小值为6．
答：至少需要同时开放6个检票口．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答的过程中求出函数的解析式是关键，建立一元一次不等式是重点．