Question

3．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上．
（1）如果AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果AE=$\frac{1}{3}$AO，BF=$\frac{1}{3}$BO，CG=$\frac{1}{3}$CO，DH=$\frac{1}{3}$DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果AE=$\frac{1}{n}$AO，BF=$\frac{1}{n}$BO，CG=$\frac{1}{n}$CO，DH=$\frac{1}{n}$DO，其中n为大于1的正整数，那么上述结论还成立吗？

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再由AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，得出OE=OG，OF=OH，根据平行四边形的判定定理即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和已知条件得出OE=OG，OF=OH，即可得出结论；
（3）由平行四边形的性质和已知条件得出OE=OG，OF=OH，即可得出结论．

解答 解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{2}$AO，BF=$\frac{1}{2}$BO，CG=$\frac{1}{2}$CO，DH=$\frac{1}{2}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{3}$AO，BF=$\frac{1}{3}$BO，CG=$\frac{1}{3}$CO，DH=$\frac{1}{3}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）上述结论成立；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=$\frac{1}{n}$AO，BF=$\frac{1}{n}$BO，CG=$\frac{1}{n}$CO，DH=$\frac{1}{n}$DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解决问题的关键．