Question

13．如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x²上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，6），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为a，△BED的面积为S．
（1）当a=$\sqrt{3}$时，求S的值．
（2）求S关于a（a≠$\sqrt{6}$）的函数解析式．
（3）①若S=2$\sqrt{3}$时，求$\frac{AF}{BF}$的值；
②当a＞$\sqrt{6}$时，设$\frac{AF}{BF}$=k，猜想k与a的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由B点坐标可求得BE长，再求得A点坐标，可得AE长，再证明△ABE∽△CBO，可求得CO，结合条件可求得OD，可求得S的值；
（2）分0＜a＜$\sqrt{6}$和a＞$\sqrt{6}$两种情况，可证明△BEA∽△BOD，利用相似三角形的性质可求得BE•DO，可求得S与a的关系式；
（3）①连接AD，根据同高两三角形的面积比为底的比，可得到$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，再利用面积的和差可得到k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$，再根据S=2$\sqrt{3}$可求得A点坐标，可求得△ADE的面积，从而可求得k的值，即可得到$\frac{AF}{BF}$；②连接AD，同①的方法可得到k和a的数量关系．

解答 解：
（1）∵点A在二次函数y=x²的图象上，AE⊥y轴于点E且AE=a，
∴点A的坐标为（a，a²），
当a=$\sqrt{3}$时，点A的坐标为（$\sqrt{3}$，3），
∵点B的坐标为（0，6），
∴BE=OE=3．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥x轴，
∴△ABE∽△CBO，
∴$\frac{AE}{CO}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2$\sqrt{3}$，
∵点D和点C关于y轴对称，
∴DO=CO=2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；
（2）（I）当0＜a＜$\sqrt{6}$（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BO}{DO}$，即BE•DO=AE•BO=6a．
∴S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$×6 a=3a；
（II）当a＞$\sqrt{6}$时（如图2），
同（I）解法得：
S=$\frac{1}{2}$BE•DO=$\frac{1}{2}$AE•OB=3a，
由（I）（II）得，S关于a的函数解析式为：S=3a（a＞0且a≠$\sqrt{6}$）；
（3）①如图3，连接AD，
∵△BED的面积为2$\sqrt{3}$，
∴S=3a=2$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，
S_△AEF=k•S_△BEF，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADF}-{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}}$=$\frac{k（{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}）}{{S}_{△BDF}-{S}_{△BEF}}$=k，
∴k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}×\frac{4}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2}{9}$，即$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{9}$；
②k与a之间的数量关系为k=$\frac{1}{6}$a²，
如图4，连接AD，
∵$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{AF}{BF}$=k，
∴S_△ADF=k•S_△BDF，S_△AEF=k•S_△BEF，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADF}+{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}}$=$\frac{k（{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}）}{{S}_{△BDF}+{S}_{△BEF}}$=k，
∵点A的坐标为（a，a²），S=3a，
∴k=$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{\frac{1}{2}•a•{a}^{2}}{3a}$=$\frac{1}{6}$a²（a＞$\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识点．解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．