Question

1．【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．
【规律探索】
（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
【解决问题】
（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABP≌△DCQ，则∠APB=∠DQG，然后证明△MEP≌△NPQ即可证得；
（2）证明△EMP∽△MAG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及矩形的性质即可求解；
（3）设PM、PN分别交AD于点E、F，证明△PEF∽△PMN，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD．
∵在△ABP和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCQ，
∴∠APB=∠DQG．
∴∠MPE=180°-2∠APB=180°-2∠DQC=∠NQF．
∴在△MEP和△NPQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NQF}\\{∠MEP=∠NPQ}\\{MP=NQ}\end{array}\right.$，
∴△MEP≌△NPQ，
∴ME=NF；
②∵ME∥NF，ME=NF，
∴四边形EFMN是矩形，
∴MN∥BC．
（2）延长EM、FN交AD于点G、H．
∵AB=4，BP=3，
∴AM=4，PM=3．
∵AD∥BC，
∴EM⊥AD．
∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，
∴∠EMP=∠MAG．
∴△EMP∽△MAG．
∴$\frac{AG}{EM}=\frac{MG}{EP}=\frac{AM}{MP}=\frac{4}{3}$，
设AG=4a，MG=3b．
∵四边形ABEG是矩形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=3b+3}\\{3a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{24}{25}}\\{b=\frac{7}{25}}\end{array}\right.$，
∴AG=$\frac{96}{25}$，同理DH=$\frac{96}{25}$．
∴MN=$\frac{108}{25}$；
（3）设PM、PN分别交AD于点E、F．
∵∠EPA=∠APB=∠PAE，
∴EA=EP．
设EA=EP=x，
在直角△AME中，4²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{9}$．
∴EF=12-2×$\frac{13}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∵EF∥MN，
∴△PEF∽△PMN．
∴$\frac{EF}{MN}=\frac{PE}{PM}$，即$\frac{\frac{10}{3}}{MN}=\frac{\frac{13}{3}}{6}$，
解得：MN=$\frac{60}{13}$．

点评 本题考查了图形的折叠，以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，注意在求线段的长时常用的方法是利用相似和解直角三角形．