Question

14．【问题情境】反比例函数y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{8}{x}$在平面直角坐标系xOy第一象限的图象如图所示，点A在y=$\frac{8}{x}$的图象上，AB∥y轴，与y=$\frac{2}{x}$的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=$\frac{2}{x}$、y=$\frac{8}{x}$的图象交于点C、D．点A、B、C、D的纵坐标分别记为y_A、y_B、y_C、y_D，记点A的横坐标为m（m＞0）．
【特例探究】
填空：当m=1时，y_A=8，S_△ABC=$\frac{9}{4}$；
当m=2时，y_C=4，S_△ABD=9．
【归纳说明】
对任意m（m＞0），猜想梯形的面积的大小是否发生变化，若不发生变化，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由．
【扩展应用】
（1）直接写出△OBC的面积；
（2）直接写出S_△AFC：S_△BDF=1：16．

Answer 1

分析 特例探究：根据函数与自变量的对应关系，可得A、B、C、D的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
归纳：根据梯形的面积公式，可得答案；
拓展应用：根据图形的割补法，可得答案；根据相似三角形的性质，可得答案．

解答 解：m=1时，y_A=8，A（1，8）
y_B=2，B（1，2），
AB=8-2=6；
y_C=8，x_C=$\frac{1}{4}$，C（$\frac{1}{4}$，8），
AC=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
当m=2时，y_C=y_A=4，A（2，4），
y_B=1，B（2，1），AB=4-1=3，
x_D=8，D（8，1），BD=8-2=6，
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•BD=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
归纳：任意m（m＞0），猜想梯形的面积的大小不发生变化，
A（m，$\frac{8}{m}$），C（$\frac{m}{4}$，$\frac{8}{m}$），AC=$\frac{3}{4}$m，
B（m，$\frac{2}{m}$），D（4m，$\frac{2}{m}$），AB=$\frac{6}{m}$，BD=3m，
S_梯形ACBD=$\frac{1}{2}$（AC+BD）•AB=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{4}$m+3m）•$\frac{6}{m}$=$\frac{45}{4}$，
拓展应用：延长CB交x轴于E点，

BC的解析式为y=-$\frac{8}{{m}^{2}}$x+$\frac{10}{m}$，
E（$\frac{5}{4}$m，0），
S_△OBC=S_△OCE-S_△OBE=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$m×$\frac{6}{m}$=$\frac{15}{4}$；
△ACF∽△BDF，
S_△AFC：S_△BDF=（AC：BD）²=[（$\frac{3}{4}$m）：（3m）]²=1：16，
故答案为：8，$\frac{9}{4}$，；4，9；1：16．

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出A、B、C、D点的坐标，又利用三角形的面积公式得出答案，图形的割补法是求面积的重要方法，相似三角形的判定与性质．